Theoreme de Pythagore - calculs dans le triangle rectangle — Entraînement Brevet 2026

Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si on note c l'hypoténuse et a et b les deux autres côtés, on a bien c² = a² + b². Il est important de retenir que cette relation ne s'applique qu'aux triangles rectangles et que l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.

Le triangle est rectangle en A, donc l'hypoténuse est le côté BC. D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC = √100 = 10 cm. On vérifie que 6, 8 et 10 sont bien des multiples du triplet pythagoricien 3, 4, 5 (car 6=2×3, 8=2×4, 10=2×5).

Soit c l'hypoténuse (13 cm), a un côté (5 cm) et b l'autre côté cherché. D'après Pythagore : c² = a² + b², donc b² = c² - a² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. Ainsi b = √144 = 12 cm. On reconnaît le triplet pythagoricien 5, 12, 13 qui est très courant. Il faut penser à soustraire le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse quand on cherche un côté de l'angle droit.

Pour savoir si un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés, on vérifie si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Ici, le plus grand côté est 25 cm. On calcule : 7² + 24² = 49 + 576 = 625, et 25² = 625. Comme 7² + 24² = 25², le triangle est rectangle et l'hypoténuse est le côté de 25 cm. C'est le triplet pythagoricien 7, 24, 25.

Soit c l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore : c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Donc c = √225 = 15 cm. On remarque que 9, 12 et 15 sont des multiples du triplet 3, 4, 5 (car 9=3×3, 12=3×4, 15=3×5). Il n'est pas nécessaire d'arrondir car le résultat est un nombre entier. La racine carrée de 225 est exactement 15.

La réciproque du théorème de Pythagore est un outil de démonstration : si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l'hypoténuse. C'est donc le théorème qui permet de prouver qu'un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses trois côtés. Le théorème direct, lui, permet de calculer une longueur dans un triangle déjà connu comme rectangle.

Pour savoir si ce triangle est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Le plus grand côté est 6 cm. On calcule : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, et 6² = 36. Comme 41 ≠ 36, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. Donc le triangle n'est pas rectangle. L'inégalité 4 + 5 > 6 montre seulement que le triangle existe (inégalité triangulaire), pas qu'il est rectangle.

Le triangle est rectangle en E, donc l'hypoténuse est FG. D'après Pythagore : FG² = EF² + EG² = (1,5)² + 2² = 2,25 + 4 = 6,25. Donc FG = √6,25 = 2,5 cm. Le résultat est exact, pas besoin d'arrondir. On peut aussi remarquer que 1,5 et 2 sont égaux à 3/2 et 4/2, donc on retrouve le triplet 3, 4, 5 divisé par 2.

Le triangle est rectangle en I, donc l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire JK (17 cm). On cherche IK, un côté de l'angle droit. D'après Pythagore : JK² = IJ² + IK², donc IK² = JK² - IJ² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225. Ainsi IK = √225 = 15 cm. On reconnaît le triplet pythagoricien 8, 15, 17.

Pour déterminer la nature de ce triangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Le plus grand côté est 26 cm. On calcule : 10² + 24² = 100 + 576 = 676, et 26² = 676. Comme l'égalité est vérifiée, le triangle est rectangle et son hypoténuse est le côté de 26 cm. On reconnaît le triplet pythagoricien 5, 12, 13 multiplié par 2 (car 10=2×5, 24=2×12, 26=2×13).