Transformations geometriques — Entraînement Brevet 2026

La symetrie axiale (ou reflexion) est une isometrie : elle conserve toutes les longueurs et tous les angles, donc les figures sont superposables. Cependant, contrairement a la translation et a la rotation (qui sont des deplacements), la symetrie axiale inverse l'orientation. Pour le verifier, imagine un triangle ABC tournant dans le sens horaire : son symetrique tournera dans le sens anti-horaire. L'homothetie, elle, ne conserve pas les longueurs (sauf si le rapport est 1 ou -1).

Une translation est une transformation qui conserve les longueurs, les angles et l'alignement. C'est ce qu'on appelle une isometrie. Ici, on nous dit que A' est l'image de A par la meme translation qui envoie B sur B'. Cela signifie que le quadrilatere AA'B'B est un parallelogramme (car les vecteurs AA' et BB' sont egaux). Dans un parallelogramme, les cotes opposes sont egaux, donc AB = A'B' = 5 cm. La conservation des longueurs est une propriete fondamentale des translations.

La rotation reciproque d'une rotation d'angle α (dans un sens donne) est une rotation de meme centre et d'angle -α (c'est-a-dire le meme angle mais dans le sens oppose). Ici, la rotation initiale est de 120° dans le sens horaire. Pour la 'defaire', il faut une rotation de 120° dans le sens anti-horaire. Mais la question demande l'angle dans le sens anti-horaire. Un angle de 240° dans le sens anti-horaire equivaut a un angle de 120° dans le sens horaire (car 240° anti-horaire + 120° horaire = 360°, un tour complet). Donc, la rotation de 240° anti-horaire ramene bien la figure a sa position initiale.

La translation reciproque est la transformation qui 'defait' la translation initiale. Si une translation de vecteur u transforme A en A', alors la translation reciproque transforme A' en A. Son vecteur est donc l'oppose du vecteur u. Mathematiquement, si u a pour coordonnees (x; y), alors le vecteur de la translation reciproque a pour coordonnees (-x; -y). Ici, avec u(3; -2), l'oppose est bien (-3; 2). Cela correspond au deplacement inverse : 3 unites vers la gauche (abscisse negative) et 2 unites vers le haut (ordonnee positive).

Dans une homothetie de rapport k, les longueurs sont multipliees par |k| (la valeur absolue de k). Ici, |k| = |-0,5| = 0,5, qui est inferieur a 1, donc il s'agit bien d'une reduction : toutes les longueurs sont divisees par 2. Le signe du rapport indique la position relative par rapport au centre. Un rapport negatif (k < 0) signifie que l'image est situee de l'autre cote du centre O par rapport a l'objet. En resume, F' est deux fois plus petite que F et se trouve du cote oppose a F par rapport au point O.

Une symetrie centrale de centre O est une rotation d'angle 180°. Si on applique une rotation de 180°, puis une autre rotation de 180° autour du meme centre, l'angle total est de 360°. Une rotation de 360° ramene tout point a sa position initiale. On appelle cette transformation l'identite. Autrement dit, si un point M a pour image M' par la premiere symetrie, alors la deuxieme symetrie transforme M' en M. Le resultat est donc de ne laisser aucun point invariant ? Non, au contraire, tous les points reviennent a leur place initiale. C'est la transformation neutre.

Une propriete fondamentale de l'homothetie est qu'elle conserve l'alignement et le parallelisme. L'image d'une droite qui ne passe pas par le centre de l'homothetie est une droite parallele a la droite initiale. En effet, si on prend deux points A et B sur la droite (d), leurs images A' et B' sont alignees avec O, A et O, B respectivement. Les triangles OAB et OA'B' sont donc en configuration de Thales, ce qui implique que (AB) // (A'B'). Si la droite passait par le centre O, alors son image serait la droite elle-meme (elle serait invariante).

La symetrie axiale (ou reflexion) est une isometrie. Une isometrie est une transformation qui conserve les longueurs. Si toutes les longueurs sont conservees, alors tous les angles sont egalement conserves (car les triangles sont superposables). Par consequent, l'aire, qui depend des longueurs des cotes et des angles, est elle aussi conservee. Le triangle A'B'C' est le symetrique de ABC, c'est un triangle superposable, donc il a exactement la meme aire : 12 cm². Seules les transformations qui modifient les longueurs (comme l'homothetie avec un rapport different de 1 ou -1) modifient les aires.

Par definition, une rotation de centre O est la transformation qui, a tout point M du plan, associe le point M' tel que OM = OM' et que l'angle (OM, OM') soit egal a l'angle de rotation. Que se passe-t-il si on applique cette definition au point O lui-meme ? On aurait O' tel que OO = OO' (toujours vrai) et l'angle (OO, OO')... Mais le vecteur OO est le vecteur nul. L'angle n'est pas defini pour le centre, mais par convention, et surtout par la propriete de distance, le seul point a distance nulle de O est O lui-meme. Donc O' = O. Le centre est un point invariant (ou fixe) par la rotation. C'est une propriete importante pour construire l'image d'une figure.

C'est une propriete du programme de 3eme. La composee d'une symetrie axiale d'axe (d) et d'une translation de vecteur u parallele a l'axe (d) est une symetrie axiale. Plus precisement, si on applique d'abord la symetrie s_(d) puis la translation t_u (avec u // (d)), alors la transformation resultante est la symetrie axiale d'axe (d'), ou (d') est la droite image de (d) par la translation de vecteur u/2. L'axe de la symetrie resultante est donc parallele a l'axe initial. L'ordre des transformations change la position de ce nouvel axe, mais le resultat reste toujours une symetrie axiale. C'est un cas particulier de composition a connaitre.